Солнечные затмения

[Electrica]

Как вычислить диаметр тени и полутени на поверхности Земли от Луны во время полного солнечного затмения, если расстояния между ними средние.

[Nick]

С тенью всё достаточно просто - нужно сначала вычислить длину тени (т.е. расстояние от центра Луны до точки окончания тени). Для этого потребуется нарисовать два подобных треугольника, из которых сразу получить соотношение r/R=l/L, где r и R - радиусы Луны и Солнца, а l и L - расстояния от конца тени до центров Луны и Солнца. Отсюда l=L*r/R, и если подставить L=149600000 км (астрономическая единица) и радиусы Солнца и Луны, то получится l ~ 373600 км, что чуть меньше среднего расстояния от Земли до Луны (384401 км), но находится между минимальным и максимальным значениями (соответственно - 356400 и 406700 км). Уже отсюда видно, что даже с учётом радиуса Земли (6378 км) при вышеназванном среднем расстоянии от Земли до Луны лунная тень оборвётся примерно в 4400 км над поверхностью Земли.

Тем не менее, решим и вторую часть первой задачи - вычисление искомого диаметра тени d на поверхности Земли. Что, по сути, будет повторение первой, но теперь из соотношения d/D=a/l, где D - диаметр Луны, a - расстояние от конца тени до земной поверхности, a = l - (b-Z), где Z - радиус Земли, b - расстояние между центрами Земли и Луны, т.е. b-Z - это расстояние от поверхности Земли до центра Луны. В такой формулировке при некоторых значениях b величина a может быть и отрицательной - это будет означать, что лунная тень не доходит до поверхности Земли, и тогда возможно только кольцеобразное затмение.
Итак, d=a*D/l=(l-b+Z)*D/l
При минимальном b=356400 км и полученном выше l=373600 км получим a=10822 км, и тогда d=100 км, что примерно так и есть на самом деле, и потому этот результат служит косвенным подтверждением правильности вычислений.

С полутенью - рассуждения совершенно аналогичные, только исходные треугольники будут другие.

[Nick]

Пока ответной реакции не последовало, решил ещё и пояснительные рисунки добавить. Верхний соответствует первой части моего ответа (нахождение полной длины тени), нижний - второй (нахождению диаметра тени на земной поверхности). Когда писал предыдущий пост, держал эти рисунки в уме, но, наверное, полезнее представить их в явном виде. На мой взгляд, теперь ход вычислений настолько прозрачен, что добавить больше нечего.

[Булдаков Сергей]

Только сейчас чухнул, Electrica, а не из Красноярска ли Вы?

[Nick]

Если думаете, что тема исчерпана, то ошибаетесь!

1. Полученный максимальный диаметр лунной тени 100 км справедлив для Луны, находящейся в зените (т.е. когда земная поверхность перпендикулярна линии Луна-Солнце). Для прочих мест, хотя они и дальше от Луны (вплоть до величины радиуса Земли - для случая с Луной на горизонте), но длины лунной тени в принципе хватает, поэтому на наклонной земной поверхности лунная тень вытянется в эллипс, и поэтому ширина полосы полной фазы может быть и больше 100 км.

2. Путём несложных вычислений показано, что при среднем расстоянии от Земли до Луны тень Луны не доходит до поверхности Земли. Из этого следует нехитрый вывод, что кольцеобразные затмения должны случаться немного чаще, чем полные. Я специально проверял - действительно, в 21 веке намечается 43 полных и 47 кольцеобразных затмений!

3. Интересен и вопрос о диаметре области, из которой видно кольцеобразное затмение. Имеется длина лунной тени 373600 км, а максимальное расстояние до Луны - 406700 км, вычитаем первое из второго, отнимаем радиус Земли и получаем 26700 км - максимальная высота конца лунной тени над поверхностью Земли. Для разнообразия решим треугольник по-другому - просто умножим это расстояние на синус угла при вершине (а угол этот - угловой диаметр Луны в апогее, т.е. примерно 0.5 градуса), и получим примерно 230 км.

[Nick]

Что касается диаметра полутени, то весь ход рассуждений повторяется, только рисунок другой - теперь решаемые треугольники образуются лучами, касательными к противоположным сторонам Солнца и Луны. А вся задача сводится к нахождению расстояния от центра Луны до точки пересечения крайних лучей (точки Х). Кто хочет - пусть решает задачу точно, я же только замечу, что если пренебречь расстояним Земля-Луна по сравнению с расстоянием Земля-Солнце, то искомое расстояние OX будет примерно равно длине лунной тени, а поскольку последняя примерно равна среднему расстоянию от Земли до Луны, то отсюда без всяких вычислений следует, что на земной поверхности диаметр лунной полутени примерно вдвое больше диаметра Луны, т.е. немного больше радиуса Земли!